Diferencijalni račun funkcija jedne i više varijabli

Diferencijalni račun je grana matematičke analize, koja ispituje derivat, razlike i njihova upotreba u studiji funkcija.

Priča o

Diferencijalni račun nastao kao samostalna disciplina u drugoj polovini 17. stoljeća, zahvaljujući radu Newton i Leibniz, koji je formulirao osnovne odredbe u obračunu razlike i uočili vezu između integracije i diferencijacije. Od disciplina je razvio zajedno sa obračunom integrali, čime čine osnovu matematičke analize. Pojava ovih kalkulusa otvoren je novi moderni period u matematičkom svijetu i izazvala pojavu novih disciplina u nauci. Proširena mogućnost primjene matematike u prirodnim.

osnovni pojmovi

Diferencijalni račun se zasniva na osnovnim pojmovima matematike. To su: realni broj, kontinuitet i ograničenje funkcije. Nakon nekog vremena, oni su se moderan izgled, zahvaljujući integralnog i diferencijalnog računa.

Proces stvaranja

Formiranje diferencijalnog računa u obliku aplikacije, a zatim i naučni metod dogodila prije pojave filozofske teorije, koji je nastao Nikolay Kuzansky. Njegov rad se smatra evolucioni razvoj od drevnog nauka presude. Unatoč činjenici da je sam filozof nije bio matematičar, njegov doprinos razvoju matematičkih nauka je neosporan. Cusa, jedan od prvih iz razmatranja aritmetičke kao najprecizniji nauku, matematiku stavljanje put u pitanje.

U drevnoj matematičari univerzalni kriterij bila jedinica, dok je filozof predložen kao nova mjera beskonačnosti vratiti tačan broj. U vezi sa ovim obrnutim zastupljenost preciznost u matematičkoj nauci. Naučno znanje, po njegovom mišljenju, je podijeljena na racionalan i inteligentan. Drugi je preciznije, prema naučniku, od kada je bivši daje samo približne rezultate.

ideja

Osnovna ideja i koncept diferencijalnog računa povezanih sa funkcijom u malom naselju neke stvari. Za to je potrebno stvoriti matematički aparat da funkcioniše studije čije ponašanje u malom naselju poena instaliran blizu ponašanje linearna funkcija ili polinom. na ovoj definiciji derivata i diferencijal na bazi.

Pojava koncepta derivata uzrokovan je veliki broj problema prirodnih nauka i matematike, što je dovelo do utvrđivanja graničnih vrijednosti istog tipa.

Jedan od glavnih zadataka koji se daju kao primjer, počevši od najstarijeg klasama škole, je da se odredi brzina kretanja tačke u ravnoj liniji i izgradnju tangenta na ovu krivu. Diferencijalna povezani sa ovim, jer je moguće da se aproksimirati funkciju u malom naselju tačke linearna funkcija.

U poređenju sa konceptom derivacije funkcije realne varijable, definicija razlike jednostavno prolazi na funkciju opšte prirode, posebno sliku Euklidovom prostora u drugi.

izvod

Neka tačka kreće u smjeru y-osi, za sada uzmemo x, koji se mjeri od početka trenutak. Opišite takav pokret je moguće funkcije y = f (x), koji je povezan sa svake točke x put koordinata premještanjem trenutku. Ova funkcija poziv u mehanici da se zakon kretanja. Glavna karakteristika kretanja, posebno neujednačen je trenutnu brzinu. Kada je trenutku kretao y-osi u skladu sa zakonom o mehanici, random time trenutku stiče koordinata x f (x). U vremenskom trenutku x + Δh, gdje Δh predstavlja povećanje vremena, to će kordinaty f (x + Δh). Nastali formula Δy = f (x + Δh) - f (x), koji se zove povećanje funkciju. To je tačka na putu prošli u vremenu od x do x + Δh.

U vezi sa pojavom brzine u vremenu derivat se primjenjuje. Izvod bilo koju funkciju u fiksnoj tački zove granica (pod pretpostavkom da postoji). To se odnosi i na određene znakove:

f '(x), y', y, df / dx, dy / dx, Df (x).

Proces računanja derivat diferencijacije poziva.

Diferencijalni račun funkcija više varijabli

Ova metoda se primjenjuje pri izračunavanju studija funkciju, nekoliko varijabli. Kada postoje dvije varijable x i y, parcijalni izvod u odnosu na x na mjestu A se zove izvod ove funkcije u x sa fiksnim god.

Može se utvrditi sljedeće simbole:

f '(x) (x, y), u' (x), ∂u / ∂x i ∂f (x, y) '/ ∂x.

potrebne vještine

Kako bi se uspješno učiti i biti u stanju riješiti diffury potrebne vještine u integraciji i diferencijacije. Da bi se lakše razumjeti diferencijalne jednadžbe, mora shvatiti temu derivat i neodređeni integral. Također ne boli da nauče tražiti izvod implicitne funkcije. To je zbog činjenice da je u procesu učenja će često koriste integrali i diferencijacije.

Vrste diferencijalne jednadžbe

Praktično svi kontrolu rada u vezi sa prvog reda diferencijalne jednadžbe, postoje 3 vrste jednadžbi: homogena, s odvojivim varijabli, linearna nehomogeni.

Tu su i više rijetke vrste jednadžbi s potpunom diferencijala, Bernoullijeva jednadžba, i drugi.

Osnove rješenja

Za početak, treba imati na umu je algebarska jednadžba škole, naravno. Oni sadrže varijable i brojeve. Da bi se riješio konvencionalnim jednadžbu treba naći dosta brojeva koji zadovoljavaju određenog stanja. Obično, ove jednadžbe imaju jedan korijen, a za validaciju treba zamijeniti samo ovu vrijednost na mjesto nepoznato.

Diferencijalne jednadžbe je sličan ovome. U principu, jednadžba prvog reda se sastoji od:

• Nezavisne varijable.
• Derivat prvu funkciju.
• Funkcije ili zavisna varijabla.

U nekim slučajevima, ne može biti ni jedan nepoznati, x ili y, ali to nije toliko bitno koliko je potrebno da se prvi izvod, bez višeg derivatima kako bi se rješenje i diferencijalni račun bile istinite.

Riješiti diferencijalne jednadžbe - to znači da je skup svih funkcija koje su pogodne s obzirom izraz. Takvi skupovi funkcija se često naziva opće kontrole rješenje.

integralni račun

Integralni račun je jedan od sekcija matematičke analize, koja ispituje koncept integral, svojstva i metode obračuna.

Često proračun sastavni javlja prilikom izračunavanja površini od krivolinijske oblika. Na taj način ograničenje prostora, prema kojoj se može napravila unapred području upisanog poligona oblika s postupno povećanje u ruci, a sa strane podataka manje nego bilo koji prethodno navedenih proizvoljno male vrijednosti.

Glavna ideja u obračun području bilo geometrijskih oblika je izračunavanje površine pravougaonika, onda postoje dokazi da je njegova površina je jednak proizvodu dužine od širine. Kada je u pitanju geometrija, onda sve konstrukcije izrađeni su pomoću vladara i kompas, a zatim odnos dužine i širine je racionalna vrijednost. Prilikom izračunavanja površina pravouglog trougla može utvrditi da ako stavite sljedeći trougao, formira pravougaonik. Na području paralelograma se obračunavaju na sličan, ali malo kompliciranije metode, u pravougaonik i trokut. Na području poligona se razmatra trokuta uključeni u to.

Pri određivanju milost proizvoljnog, ova metoda se ne uklapa u krivu. Ako bismo to na pojedinačne kvadrate, to će ostati nepopunjena mjesta. U ovom slučaju, pokušati iskoristiti dva sloja, s pravokutnika iznad i ispod, kao rezultat tih uključuju graf funkcije i ne uključuje. Važno ovdje je način da se prekine te pravokutnika. Isto tako, ako uzmemo pauzu sve više i više smanjuje, na području gornje i donje treba konvergiraju na određene vrijednosti.

Trebalo bi da se vrati u metodu za razdvajanje u pravougaonika. Postoje dva popularna metoda.

Riemann je formalizovana definicija integralnog, stvorio Leibniz i Newton, kao područje podgraf. U ovom slučaju, koji se smatra da je figura koja se sastoji od određenog broja vertikalnih pravokutnika dobije dijeljenjem intervalu. Kada razbijanje smanjenje postoji granica do koje je smanjena površina takve figure, ovo ograničenje se zove Riemann integral funkcije u određenom intervalu.

Druga metoda je da se izgradi Lebesgue integral, koja se sastoji u tome da se na mjestu odvajanja određeno područje na dijelu integranda i sastavljanje onda sastavni zbir vrednosti dobijene u ovim krajevima, u intervalima podijeljena svoj raspon vrijednosti, a zatim sabiraju sa odgovarajućim mjerama inverzni slike ovih integrala.

moderne pomagala

Jedna od glavnih prednosti za proučavanje diferencijalni i integralni račun Fikhtengol'ts napisao - "diferencijalne i integralni račun." Njegov udžbenik je osnovno sredstvo za proučavanje matematičke analize, koji je izdržao mnoge izdanja i prijevodi na druge jezike. Stvoren za studente i dugo se koristi u raznim obrazovnim institucijama, kao jedan od glavnih prednosti ove studije. To daje teorijske informacije i praktične sposobnosti. Prvi put objavljena 1948. godine.

Algoritam istraživanja funkcija

Istražiti metode diferencijalnog računa funkcija, morate slijediti je već dao algoritam:

1. Pronađite domenu funkcije.
2. Pronađite korijeni date jednacine.
3. Izračunajte krajnosti. Da biste to učinili, mi izračunati derivat i mjesto gdje je jednaka nuli.
4. Mi zamijeniti vrijednost koja se dobije u jednačini.

Sorte diferencijalnih jednačina

Kontrola prvog reda (inače, diferencijalni račun jedne varijable) i njihovih tipova:

• Sa odvojivo varijable jednadžbe: f (y) dy = g (x) dx.
• Najjednostavniji jednadžba ili diferencijalni račun funkcije jedne varijable, ima formulu: y '= f (x).
• Linearni prvog reda neuniformnih kontrola: y '+ P (x) y = Q (x).
• Bernoullijeva diferencijalna jednadžba: y '+ P (x) y = Q (x) y a.
• Jednadžbu ukupno razlike sa: P (x, y) dx + Q (x, y) dy = 0.

Diferencijalne jednadžbe drugog reda i njihovih tipova:

• Homogene linearne drugi diferencijalne reda jednadžbe s konstantnim ^{koeficijentima: y n + py '+ qy} = 0 p, q pripada R.
• Nehomogena linearna drugog reda diferencijalne jednadžbe s konstantnim koeficijentima ^{vrijednosti: y n + py '+ qy} = f (x).
• Homogene linearne diferencijalne ^{jednadžbe: y n + p (x)} y '+ q (x) y = 0, a nehomogeni drugog reda ^{jednadžbe: y n + p (x)} y' + q (x) y = f (x).

Diferencijalne jednadžbe viših redova i njihovih tipova:

• Diferencijalne jednadžbe, omogućavajući smanjenje ^{reda: F (x, y (k} ), y (k + ^{1), .., y (n)} = 0.
• Linearna jednadžba višeg reda ^{_{homogene: y (n) + f (}} n- ₁₎ y ^(n-1) + ... + f ₁ y '+ f ₀ y = 0, a ^{_{nehomogeni: y (n) + f (}} n _-1) y ^(n-1) + ... + f ₁ y '+ f ₀ y = f (x).

Faze rješavanja problema sa diferencijalne jednadžbe

Uz pomoć daljinskog upravljača su riješeni ne samo matematika ili fizičke probleme, ali i različite probleme biologije, ekonomije, sociologije i drugih. Uprkos širok spektar tema, treba slijediti jednu logiku niz za rješavanje ovih problema:

1. Izrada kontrole. Jedan od najtežih faza, koja zahtijeva maksimalnu preciznost, jer će svaka greška dovesti do potpuno pogrešne rezultate. Potrebno je uzeti u obzir sve faktore koji utiču na proces i utvrditi početni uslovi. To bi trebalo da bude zasnovana na činjenicama i logičkih zaključaka.
2. Za rješavanje jednadžbi. Ovaj proces je lakše prva tačka, jer zahtijeva samo strogu primjenu matematičkih proračuna.
3. Analiza i evaluacija rezultata. Izvedeni rješenje treba procijeniti za instalaciju praktične i teorijske vrijednosti rezultata.

Primjer korištenja diferencijalne jednadžbe u medicini

Pomoću daljinskog upravljača u oblasti medicine nalazi se u izgradnji epidemioloških matematičkog modela. Ne treba zaboraviti da su te jednadžbe se mogu naći u biologije i hemije, koji su blizu medicine, jer igra važnu ulogu proučavanje različitih bioloških populacija i kemijske procese u ljudskom tijelu.

U ovom primjeru, epidemija širenja infekcije mogu biti tretirani u izolovanu zajednicu. Stanovnici su podijeljeni u tri vrste:

• Infected, broj x (t), koja se sastojala od pojedinaca, infektivnih nosioci, od kojih je svaka infektivna (period inkubacije je kratak).
• Drugi tip uključuje osjetljivih osoba y (t), može biti okužen mimo kontakt sa zaraženim.
• Treći tip uključuje vatrostalne pojedinaca z (t), koji su imuni ili izgubio zbog bolesti.

Broj pojedinaca stalno, čuvanje rođenja, prirodne smrti i migracija se ne smatra. U srži će biti dvije hipoteze.

Posto bolesti u nekom vremenskom trenutku je jednako x (t) y (t) (na osnovu pretpostavke o teoriji da je broj predmeta u odnosu na broj raskrsnica između pacijenata i odgovorne članove, koji je u prvoj aproksimaciji proporcionalna x (t) y (t)), u tako da je broj slučajeva je u porastu, a broj podložna opada po stopi koja se računa po formuli ax (t) y (t) (a> 0).

Broj ne reaguju životinja koje su umrle ili stečenog imuniteta, rasli po stopi koja je proporcionalna broju slučajeva, bx (t) (b> 0).

Kao rezultat toga, možete podesiti sistem jednačina sa sva tri indikatora na osnovu svojih zaključaka.

upotreba PRIMJER ekonomija

Diferencijalni račun se često koristi u ekonomskoj analizi. Glavni zadatak u ekonomskoj analizi smatra se proučavanju vrijednosti privrede, koje vodi u obliku funkcije. Koristi se u rješavanju problema kao što su promjene u porezu na dohodak povećava odmah nakon toga, ulaznica, promjene u prihodima kada se mijenja vrijednost proizvoda, u tome koliki može zamijeniti penzioneri sa novom opremom. Da bi riješili takve probleme, potrebno je izgraditi komunikacijske funkcije dolaznih varijabli, koji, nakon što su proučavali diferencijalnog računa.

često je potrebno pronaći najviše optimalne performanse u ekonomskoj sferi: maksimalnu produktivnost, najveći prihod, najmanje troškova i tako dalje. Svaka takva komponenta je funkcija jedne ili više argumenata. Na primjer, proizvodnja se može smatrati kao funkcija rada i kapitala. S tim u vezi, pronalaženja odgovarajuće vrijednosti može se svesti na pronalaženje maksimum ili minimum funkcije jedne ili više varijabli.

Takvih problema stvoriti klasu ekstrema problema na ekonomskom planu, za koji vam je potreban diferencijalnog računa. Kada je potrebno ekonomski indikator kako bi se smanjila ili povećala u funkciji drugih parametara, omjer prirasta funkcije maksimuma na argumente će težiti nuli ako je prirast argumenta teži nuli. U suprotnom, kada takav stav ima tendenciju da određene pozitivne ili negativne vrijednosti, navedenu točku nije pogodan, jer povećanjem ili smanjenjem argument može se mijenjati u zavisnosti od vrijednosti u željenom pravcu. U diferencijalni račun terminologiji, to bi značilo da su potrebni uslovi za maksimalnu funkcija je nula vrijednost njegovih derivata.

Ekonomija nije rijetkost problem pronalaženja ekstrem funkcije više varijabli, jer ekonomski pokazatelji su sačinjene od mnogo faktora. Takva pitanja su dobro razumio u teoriji funkcija više varijabli, metoda obračuna diferencijal. Takvi problemi uključuju ne samo maksimizirati i minimalno funkciju, ali i ograničenja. Ova pitanja se odnose na matematičkog programiranja, i oni su riješiti uz pomoć posebno razvijenih metoda i na osnovu ove grane nauke.

Među metodama diferencijalnog računa koristi u ekonomiji, važan dio je krajnji test. U ekonomskoj sferi, ovaj termin se odnosi na skup metoda istraživanja varijabilnih performanse i rezultate kada promijeniti jačinu stvaranja, potrošnja, na osnovu analize njihovih graničnih vrijednosti. Ograničavanje indikacija smatra derivat ili parcijalne derivacije s nekoliko varijabli.

Diferencijalni račun više varijabli - važna tema matematičke analize. Za detaljnu studiju, možete koristiti razne nastavnih sredstava za institucije visokog obrazovanja. Jedan od najpoznatijih stvorio Fikhtengol'ts - "diferencijalne i integralni račun." Koliko imena za rješavanje diferencijalnih jednadžbi od velike važnosti da imaju sposobnosti za rad sa integrali. Kada je diferencijalni račun funkcija jedne varijable, odluka postaje lakše. Iako, treba imati u vidu, slijedi ista osnovna pravila. U praksi, da se ispita funkcija diferencijalnog računa, samo pratite već postojeći algoritam, koji se daje u srednjoj školi, a samo malo komplikovano sa uvođenjem novih varijabli.