Linearna i homogena diferencijalna jednadžba prvog reda. primjeri rješenja

Mislim da bi trebali početi sa povijesti slavne matematički alat kao diferencijalne jednadžbe. Kao i svi diferencijalni i integralni račun, ove jednadžbe su izmislili Newton krajem 17. stoljeća. On vjeruje da je to njegovo otkriće toliko važno da čak i šifrovane poruke, koje danas ne može prevesti na sljedeći način: ". Svi zakoni prirode opisao diferencijalne jednadžbe" To može izgledati pretjerano, ali to je istina. Bilo koji zakon fizike, kemije, biologije, može se opisati ovim jednadžbe.

Ogroman doprinos razvoju i stvaranje teorije diferencijalnih jednačina imaju matematiku Euler i Lagrange. Već u 18. stoljeću su otkrili i razvili ono što se sada studira na viši univerzitetske kurseve.

Nova prekretnica u istraživanju diferencijalne jednadžbe počeo zahvaljujući Anri Puankare. On je stvorio "kvalitativne teorije diferencijalnih jednačina", što u kombinaciji sa teorijom funkcija kompleksne varijable značajno doprinio temelj topologije - nauke prostora i njegovih svojstava.

Koji su diferencijalne jednadžbe?

Mnogi ljudi se boje izraz "diferencijalne jednadžbe". Međutim, u ovom članku ćemo postaviti detaljno suština ovog vrlo koristan matematički alat koji zapravo nije toliko komplikovano kao što se čini iz naslova. Kako bi se početi govoriti o prvog reda diferencijalne jednadžbe, prvo morate upoznati sa osnovnim pojmovima koji su sami po sebi povezani s ovom definicijom. A mi ćemo početi sa diferencijal.

diferencijal

Mnogi ljudi znaju taj termin još od srednje škole. Međutim, i dalje zadržati na to u detalje. Zamislite graf funkcije. Možemo povećati to u tolikoj mjeri da je bilo koji od svojih segmenta postaje ravnoj liniji. To će uzeti dva boda koja su beskrajno blizu jedna drugoj. Razlika između njihovih koordinata (x ili y) je beskrajno. I to se zove diferencijalni i slova odrediti dy (diferencijalni y) i dx (diferencijalna x). Važno je shvatiti da je diferencijalni nije krajnji vrijednosti, a to je smisao i glavna funkcija.

A sada morate uzeti u obzir sljedeće elemente, koje ćemo morati objasniti pojam diferencijalne jednadžbe. It - derivat.

izvod

Svi od nas mora su čuli u školi i ovaj pojam. Kažu da je derivat - je stopa rasta ili smanjenja funkcije. Međutim, ova definicija postaje zbunjujuće. Pokušajmo objasniti derivat uslovima razlike. Vratimo se na funkciju beskrajno interval sa dva boda, koji se nalaze na minimalnu udaljenost od drugog. Ali čak i izvan ove funkcije udaljenost je vrijeme za promjenu na neke vrijednosti. I opisati tu promjenu i doći do derivativni instrument koji bi inače biti napisan kao omjer diferencijala: f (x) '= df / dx.

Sada je potrebno uzeti u obzir osnovna svojstva derivata. Postoje samo tri:

1. Derivat zbroj ili razlika se može predstaviti kao zbir ili razlika derivati: (a + b) '= a' + b ', i (zlo)' = A'-B '.
2. Drugi imovina je povezan sa množenje. Izvedeni radovi - je zbir radova jedne funkcije na drugu derivat: (a * b) '= a' * b + a * b '.
3. Izvod razlika se može pisati kao sljedeće jednadžbe: (a / b) '= (a' * ba * b ') / b ^2.

Sve ove osobine dobro doći za pronalaženje rješenja za diferencijalne jednadžbe prvog reda.

Također, tu su parcijalne derivacije. Pretpostavimo da imamo funkciju z, koji ovisi o varijabli x i y. Da bi izračunali parcijalnih derivacija ove funkcije, na primjer, u x, moramo uzeti varijabla y za konstantan i lako razlikovati.

sastavni

Još jedan važan koncept - integral. U stvari, to je suprotno od derivat. Integrali su nekoliko vrsta, ali najjednostavniji rješenja diferencijalne jednadžbe, trebamo najviše trivijalne neodređeni integrali.

Dakle, ono što je sastavni? Recimo da imamo neki odnos f x. Uzimamo od nje integralnog i dobiti funkciju F (x) (to se često naziva primitivni), koji je derivat izvorne funkcije. Stoga je F (x) '= f (x). To podrazumijeva da je integral derivacija jednaka originalnoj funkciji.

U rješavanju diferencijalnih jednadžbi je veoma važno da se shvati značenje i funkciju integral, jer vrlo često moraju da ih odvesti na iznalaženju rješenja.

Jednadžbe su različiti u zavisnosti od njihove prirode. U narednom poglavlju ćemo pogledati vrsta prvog diferencijalne reda jednadžbe, a zatim naučiti kako ih riješiti.

Klase diferencijalnih jednačina

"Diffury" podijeljena po nalogu derivata su uključeni u njih. Tako postoji prvi, drugi, treći ili više reda. Oni se mogu podijeliti u nekoliko klasa: obične i parcijalne.

U ovom članku, mi ćemo razmotriti obične diferencijalne jednadžbe prvog reda. Primeri i rješenja možemo razgovarati u narednim poglavljima. Smatramo da samo TAC, jer je to najčešće vrste jednadžbi. Obične podijeljena u podvrste: sa odvojivim varijablama, homogene i heterogene. Zatim ćete naučiti kako se razlikuju jedni od drugih, i naučiti kako ih riješiti.

Pored toga, ove jednadžbe se mogu kombinirati, tako da nakon što smo dobili sistem diferencijalnih jednadžbi prvog reda. Takvi sistemi, također pogledati i naučiti kako riješiti.

Zašto smo uzimajući u obzir samo prvi red? Jer je potrebno da se počne sa jednostavnim i opisati sve u vezi sa diferencijalne jednadžbe, u jednom članku je nemoguće.

Jednadžbe sa odvojivim varijable

Ovo je možda najjednostavniji prvi diferencijal reda jednadžbe. To su primjeri koji se može pisati kao: y '= f (x) * f (y). Za rješavanje ovog jednadžba nam je potrebna zastupljenost formula derivat kao odnos diferencijala: y '= dy / dx. Uz to smo dobili jednadžbe: dy / dx = f (x) * f (y). Sada se možemo okrenuti načina rješavanja standardnih primjera: odvojite varijable u dijelovima, odnosno brzo naprijed sve varijable y u dijelu u kojem se nalazi dy, i čine varijablu x ... Dobijamo jednačinu oblika: dy / f (y) = f (x) dx, što se postiže uzimanjem integrali od dva dijela. Nemojte zaboraviti o stalnom koje želite staviti nakon integracije.

Rješenje bilo "diffura" - je funkcija x od y (u našem slučaju), ili ako je numerička stanje, odgovor je broj. Razmotrimo konkretan primjer ceo tok odluke:

y '= 2y * sin (x)

Prenesite varijable u različitim pravcima:

dy / y = 2 * sin (x) dx

Sada uzeti integrali. Svi oni se mogu naći u posebnoj tabeli integrala. I dobijamo:

ln (y) = -2 * cos (x) + C

Ako je potrebno, možemo izraziti "Y" u funkciji "X". Sada možemo reći da je naša diferencijalne jednadžbe je riješen, ako nije navedeno stanje. Može se navesti stanju, na primjer, y (n / 2) = e. Onda ćemo jednostavno zamijeniti vrijednosti ovih varijabli u odluci i pronađite vrijednost konstante. U našem primjeru, to je 1.

Homogene prvi red diferencijalne jednadžbe

Sada na više složenih dijelova. Homogene prvi diferencijal bi jednačina se može pisati u opštem obliku kao: y '= z (x, y). Treba napomenuti da je pravo funkcija dviju varijabli je ujednačen, a ne može se podijeliti u dvije ovisno o: z x i z y. Provjerite da li je jednadžba je homogena ili ne, je vrlo jednostavan: mi napraviti izmjenu x = k * x i y = k * y. Sada smo smanjiti sve k. Ako su pala ta pisma, onda je jednadžba homogena i mogu sigurno nastaviti svoje rješenje. Gledajući unaprijed, mi kažemo: princip rješenja ovih primera je također vrlo jednostavan.

Moramo napraviti izmjenu: y = t (x) * x, gdje je t - funkcija koja također ovisi o x. Onda možemo izraziti izvod: y '= t' (x) * x + t. Zamjenom sve ovo u našu originalnu jednadžbu i pojednostavljenja to, imamo primjer odvajanje varijabli t kao x. Riješite ga i dobiti zavisnost t (x). Kada smo ga dobili, jednostavno zamijeniti naše prethodne supstitucije y = t (x) * x. Onda smo dobili zavisnost y od x.

Da bi bilo jasnije, mi ćemo shvatiti primjer: x * y '= yx * e y / x.

Prilikom provjere zamjenu svih opada. Dakle, jednadžba je stvarno homogena. Sada napraviti još jedan izmjenu, razgovarali smo o: y = t (x) * x i y '= t' (x) * x + t (x). Nakon pojednostavljenje sljedeće jednadžbe: t '(x) * x = -e t. Odlučili smo da se uzorak sa odvojenim varijabli i ^{dobijamo: e -t = ln (C *} x). Samo treba da zamijeni t po y / x (jer ako je y = t * x, onda t = y / x), a mi smo dobili ^{odgovor: e -y / x = ln (} x * C).

Linearne diferencijalne jednadžbe prvog reda

To je vrijeme da se razmotri drugi široka tema. Ćemo pogledati heterogene prvog reda diferencijalne jednadžbe. Kako oni razlikuju od prethodna dva? Suočimo se s tim. Linearni prvi diferencijal reda jednadžbe u općem obliku jednadžbe se može pisati ovako: y '+ g (x) * y = z (x). To treba pojasniti da je z (x) ig (x) može biti konstanta vrijednosti.

Evo primjera: y '- y * x = x ^2.

Postoje dva načina za rješavanje, a mi naručiti Razmotrimo oboje. Prvi - metoda varijacije proizvoljnih konstanti.

Da bi riješili jednadžbu na ovaj način, potrebno je izjednačiti prvi desne strane na nulu, i riješiti nastale jednadžbu koja je nakon prijenosa dijelova postaje:

y '= y * x;

dy / dx = y * x;

dy / y = xdx;

U | y | = x ^2/2 + C;

y = e ^{x2 / 2} * ^C y = C ₁ * e ^{x2 / 2.}

Sada je potrebno zamijeniti konstanta C ₁ na funkciju v (x), što ćemo naći.

y = v * e ^{x2 / 2.}

Nacrtajte zamjena derivat:

^{y '= v' * e x2} / ² -x * v * e ^{x2 / 2.}

I zamjenom ovih izraza u originalnu jednadžbu:

v '* e ^{x2 / 2} - x * v * e ^{x2 / 2} + x * v * e ^{x2 / 2} = x ^2.

Možete vidjeti da je u lijevoj strani dva termina su smanjeni. Ako neki primjer to se nije dogodilo, onda ste učinili nešto loše. Mi i dalje:

v '* e ^{x2 / 2} = x ^2.

Sada smo riješiti uobičajene jednadžbe u kojoj želite da se odvoje varijabli:

dv / dx = x ^{2 /} e ^x2 / ^2;

dv = x ² * e ^{- x2 / 2} dx.

Da biste uklonili integral, moramo primijeniti integracije po dijelovima ovdje. Međutim, to nije tema ovog članka. Ako ste zainteresirani, možete naučiti sami za obavljanje takve radnje. To nije teško, i sa dovoljno znanja i zaštita nije dosta vremena.

Pozivajući se na drugi način rješenje nehomogene jednadžbe: Bernoullijeva metoda. Šta pristup je brže i jednostavnije - to je do vas.

Dakle, pri rješavanju ove metode, moramo napraviti izmjenu: y = k * n. Evo, k i n - neke funkcije u zavisnosti od x. Tada će derivat izgleda ovako: y '= k' * n + k * n '. Zamjena dve zamene u jednačini:

k '* n + k * n ' + x * k * n = x ^2.

Grupa up:

k '* n + k * ( n' + x * n) = x ^2.

Sada je potrebno da se izjednačiti na nulu, što je u zagradama. Sada, ako kombinirati dva rezultat jednadžbe, dobivamo sistem prvog reda diferencijalne jednadžbe koje treba riješiti:

n '+ x * n = 0;

k '* n = x ^2.

Prvi jednakost odluči kako uobičajene jednadžbe. Da biste to učinili, potrebno je da odvojite varijable:

dn / dx = x * v;

dn / n = xdx.

Uzmemo sastavni i dobijamo: ln (n) = x ^2/2. Onda, ako izražavamo n:

n = e ^{x2 / 2.}

Sada zamijeniti rezultat jednadžbe u drugu jednadžbu:

k '* e ^{x2 / 2} = x ^2.

I transformaciju, dobijamo istu jednadžbu kao u prvom način:

DK = x ^{2 /} e ^x2 / ^2.

Isto tako neće raspravljati dalje postupanje. Kaže se da je u početku prvog reda diferencijalne jednadžbe rješenje uzrokuje značajne poteškoće. Međutim, dublje uranjanje u temu počinje da se bolje i bolje.

Gdje su diferencijalne jednadžbe?

Vrlo aktivan diferencijalne jednadžbe koriste u fizici, kao gotovo svi osnovni zakoni su pisani u diferencijalnom obliku, i one formule, da vidimo - rješenje tih jednadžbi. U hemiji, koriste se iz istog razloga: osnovni zakoni su izvedene kroz njih. U biologiji, diferencijalne jednadžbe koriste se za modeliranje ponašanja sistema, kao što je predator - plijen. Oni se mogu koristiti za stvaranje modela reprodukcije, na primjer, kolonije mikroorganizama.

Kao diferencijalne jednadžbe pomoći u životu?

Odgovor na ovo pitanje je jednostavan: ništa. Ako niste naučnik ili inženjer, malo je vjerojatno da će biti od koristi. Međutim, nije naodmet znati šta diferencijalne jednadžbe i to je riješeno za sveukupni razvoj. I onda se postavlja pitanje sina ili kćer, "šta je diferencijalna jednadžba?" zar ne staviti u ćorsokak. Pa, ako ste naučnik ili inženjer, onda znate važnost ove teme u bilo nauke. Ali što je najvažnije, da je sada na pitanje "kako riješiti diferencijalne jednadžbe prvog reda?" ćete uvijek biti u mogućnosti dati odgovor. Slažem se, to je uvijek lijepo kad shvatite da je ono što su ljudi čak i strah da saznamo.

Glavni problemi u studiji

Glavni problem u razumijevanju ove teme je loša navika funkcija integracije i diferencijacije. Ukoliko niste PREUZIMANJA derivata i integrali, to je vjerojatno više vrijedi naučiti, da nauče različite metode integracije i diferencijacije, pa tek onda nastaviti na proučavanje materijala koji je opisan u članku.

Neki ljudi su iznenađeni saznanjem da dx se mogu prenijeti, kao što je prethodno (u školi) tvrdi da je frakcija dy / dx je nedjeljiva. Onda morate čitati literaturu o derivata i shvatiti da je stav beskonačno malim količinama, što se može manipulisati u rješavanju jednadžbi.

Mnogi ljudi ne odmah shvatiti da je rješenje diferencijalne jednadžbe prvog reda - to je često funkcija ili neberuschiysya integralni, i to zabluda im daje puno problema.

Šta se još može studirao da bolje razumiju?

To je najbolje početi dodatno uranjanje u svijet diferencijalnog računa specijaliziranih udžbenika, na primjer, u matematičke analize za studente ne-matematičkih specijaliteta. Možete preći na više stručne literature.

Kaže se da je, pored diferencijala, i dalje postoje integralne jednadžbe, tako da ćete uvijek imati nešto težiti i šta da učim.

zaključak

Nadamo se da će nakon čitanja ovog članka ćete imati ideju o tome šta je diferencijalne jednadžbe i kako ih ispravno riješiti.

U svakom slučaju, matematike na bilo koji način korisno za nas u životu. On razvija logiku i pažnju, bez koje svaki čovjek, kao bez ruku.