Maclaurin i razlaganja nekih funkcija

Proučavajući više matematike bi trebali biti svjesni da je iznos od snage serije u intervalu konvergencije niza od nas, je kontinuirani i neograničen broj puta diferencirane funkcije. Postavlja se pitanje: da li je moguće tvrditi da je s obzirom proizvoljna funkcija f (x) - je zbroj snage serije? To je, pod kojim uslovima f-DONACIJE f (x) može se predstaviti moć serija? Važnost ovog pitanja je u tome što je moguće zamijeniti oko £ bogoslovnog f (x) je suma prvih nekoliko pogledu snage serije, to je polinom. Takva funkcija zamjena je prilično jednostavan izraz - polinom - pogodan je i za rješavanje određenih problema u matematičke analize, odnosno u rješavanju integrali prilikom izračunavanja diferencijalne jednadžbe , itd ...

Dokazano je, da je za neke F-ii f (x), pri čemu se može izračunati derivati (n + 1) -ta poretka, uključujući i najnovije u blizini (α - R; x ₀ + R) tačke x = α fer formula je:

Ova formula je dobila ime po poznatom naučniku Brooke Taylor. Jedan broj koji se dobija iz prethodnog, zove se MekLorina serije:

A pravilo što ga čini moguće proizvesti za proširenje u MekLorina serije:

1. Odrediti derivati prvog, drugog, trećeg, ... red.
2. Izračunati ono što su derivati u x = 0.
3. Rekord MekLorina serija za ovu funkciju, a zatim odrediti interval konvergencije.
4. Odredite interval (-R; R), gdje je rezidualni dio formule MekLorina

R _n (x) -> 0 za n -> beskonačnost. Ako postoji, to funkcija f (x) mora biti jednak zbiru MekLorina serije.

Razmotrimo sada MekLorina serije za pojedine funkcije.

1. Dakle, prvi koji je f (x) = e ^x. Naravno, da njihove karakteristike tako f-Ia je izvedena razne naredbe, i F ^{(k) (x)} = e ^x, gdje je k jednak za sve prirodne brojeve. Zamjena x = 0. Dobijamo je f ^{(k) (0)} = e ⁰ = 1, k = 1,2 ... na gore navedeno, određeni broj e ^x osnovu To će biti kako slijedi:

2. MekLorina serija za funkciju f (x) = sin x. Odmah navesti da je f-DONACIJE za sve nepoznate derivate će imati, osim f ^'(x) = cos x = sin (x + n / 2), ^{f' (x)} =-sin x = sin (x + 2 * n / ²⁾ ... f ^{(k) (x)} = sin (x + n * k / 2), gdje je k jednak pozitivan broj. To je, čineći jednostavne proračune, možemo zaključiti da je serija za f (x) = sin x će biti ovako:

3. Sada razmotrimo Iju F-f (x) = cos x. Ne zna se za sve derivate proizvoljnog reda i ^{| f (k) (x)} | = | Cos (x + k * n / 2) | <= 1, k = 1,2 ... Opet, to što je napravio neke kalkulacije, nalazimo da je serija za f (x) = cos x će izgledati ovako:

Tako smo naveli najvažnije osobine koje se mogu proširiti na MekLorina seriji, ali oni dopunjuju Taylor serija za neke funkcije. Sada ćemo ih navesti kao dobro. Također treba napomenuti da Taylorov red i MekLorina serije su važan dio serije radionica odluka u više matematike. Dakle, Taylor serije.

1. Prvi je serija F-ii f (x) = ln (1 + x). Kao iu prethodnim primjerima, za ovo mi je f (x) = ln (1 + x) može biti isključen broj, koristeći opšti oblik MekLorina serije. ali za ovu funkciju MekLorina mogu se dobiti mnogo lakše. Integracija geometrijski niz, dobijamo broj za f (x) = ln (1 + x) uzorka:

2. I drugi, koji će biti konačna u ovom članku će biti serija za f (x) = arctg x. Za x pripadaju intervalu [-1; 1] je važeća razgradnje:

To je sve. U ovom članku sam anketiranih najkorištenijih Taylor seriju i MekLorina serija u više matematike, posebno na ekonomskom i tehničkim fakultetima.