Sistem linearnih algebarskih jednadžbi. Homogeni sistem linearnih algebarskih jednadžbi

U školi, svako od nas je studirao jednadžbe i, svakako, sistem jednačina. Ali ne puno ljudi zna da postoji nekoliko načina za njihovo rješavanje. Danas ćemo vidjeti baš sve metode za rješavanje sistema linearnih algebarskih jednadžbi, koji se sastoje od više od dvije jednadžbe.

priča

Danas znamo da je umjetnost rješavanja jednadžbi i njihovih sistema nastao u drevnom Vavilonu i Egiptu. Međutim, jednakost u njihovom poznati obliku pojavio da nas nakon pojave znaka jednakosti "=", koji je uveden u 1556 od strane engleskom matematičar rekord. Usput, ovaj simbol izabrana je sa razlogom: to znači dva paralelna jednaka segmenta. Zaista, najbolji primjer jednakosti ne dolazi gore.

Osnivača moderne slova i simboli nepoznatih mjeri, francuski matematičar Fransua Viet. Međutim, njegova oznaka je značajno razlikuje od danas. Na primjer, kvadrat nepoznatog broja on odredi slova Q (lat "quadratus".), Kao i kocka - (lat. "Cubus") slovo C. Ovi simboli se čini neugodno, ali onda je najviše intuitivan način pisanja sistema linearnih algebarskih jednadžbi.

Međutim, nedostatak u važećim metodama rješenje je da matematičari su u obzir samo pozitivne korijene. Možda je to zbog činjenice da se negativne vrijednosti nemaju nikakvu praktičnu primjenu. Jedan drugi način ili, ali je prvi koji se smatra negativnim korijene je počeo nakon što je italijanska matematike Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano i Rafael Bombelli u 16. stoljeću. Moderan izgled, glavni način rješavanja kvadratne jednadžbe (kroz diskriminativne) osnovan je tek u 17. stoljeću kroz radove Descartes i Newton.

U sredini švicarskog matematičara 18. stoljeća Gabriel Cramer pronašao novi način da se rješenje sistema linearnih jednačina lakše. Ova metoda je kasnije nazvan po njemu, a do današnjeg dana ih koristimo. Ali o načinu Kramer pričati malo kasnije, ali za sada ćemo razgovarati linearnih jednadžbi i njihova rješenja odvojeno od sistema.

linearnih jednadžbi

Linearnih jednadžbi - najjednostavniji jednačina sa promjenljivom (e). Oni pripadaju algebarskih. Linearne jednadžbe napisan u općem obliku kako slijedi: a ₁ * x ₁ + a _{2 *} x ₂ + ... i _n * x _n = b. Podnošenje ovog obrasca će nam trebati u pripremi sistema i matrice na.

Sistem linearnih algebarskih jednadžbi

Definicija ovog pojma je: skup jednadžbi koje imaju zajedničke nepoznanica i opće rješenje. Tipično, u školi sve riješili sistem sa dva ili čak tri jednadžbe. Ali postoje sistemi sa četiri ili više komponenti. Da vidimo prvo kako ih zapisati, tako da je kasnije da je pogodna za rješavanje. Prvo, sistem linearnih algebarskih jednadžbi će izgledati bolje ako su sve varijable pišu kao x sa odgovarajućim index: 1,2,3 i tako dalje. Drugo, to bi trebalo da vodi sve jednadžbe na kanonski oblik: a ₁ * x ₁ + a _{2 *} x ₂ + ... i _n * x _n = b.

Nakon svih ovih koraka, možemo početi da vam kažem kako pronaći rješenje sistema linearnih jednačina. Puno koje će dobro doći matrice.

matrica

Matrix - sto koji se sastoji od redaka i stupaca, a elementi su na svoje raskrsnici. To može biti ili određenu vrijednost ili varijable. U većini slučajeva, da odredi elemente koji su raspoređeni ispod indeksi (npr sa ₁₁ ili ₂₃ dobro). Prvi indeks ukazuje na broj reda, a drugi - kolone. Iznad matrice kao što je gore i bilo koji drugi matematički element može obavljati različite operacije. Dakle, možete:

1) Oduzimanje i dodajte iste veličine stola.

2) Pomnožite matricu na bilo koji broj ili vektor.

3) Transpose: transformacije matrica linije u kolone i kolone - u redu.

4) Pomnoži matrica, ako je jednak jedan od njih različit broj kolona broj redova.

Kako bi razgovarali o detaljno sve ove tehnike, kao što su korisni za nas u budućnosti. Oduzimanje i dodavanje matrica je vrlo jednostavna. Budući da smo uzeti istu matricu veličine, svaki element jednog stola se odnosi na svaki drugi element. Tako smo dodali (oduzeti) dva od tih elemenata (važno je da su stajali na istom terenu u svoje matrice). Kada se pomnoži sa brojem matrica ili vektora jednostavno pomnožiti svaki element matrice taj broj (ili vektor). Transpozicija - vrlo zanimljiv proces. Vrlo zanimljiv ponekad da ga vidim u stvarnom životu, na primjer, kada se mijenja orijentacija tableta ili telefona. Ikone na desktopu je matrica, a uz promjenu položaja, on je transponirana i postaje širi, ali se smanjuje u visini.

Razmotrimo još jedan proces, kao što su množenja matrica. Iako nam je rekao, i nije korisno, ali imajte na umu da je još uvijek koristan. Množenje dva matrice može biti samo pod uvjetom da je broj kolona u jednoj tabeli je jednak broju redova drugih. Sada uzeti jednu matricu linijskih elemenata i drugih elemenata odgovarajućoj koloni. Umnožiti ih da jedni druge i onda sum (i.e., na primjer, proizvod elemenata ₁₁ i _12, a na ₁₂ b i ₂₂ b će biti jednaka: a * b _{11 12} + ₁₂ * b i _22). Dakle, jedan stol stavku, a metoda slična je ispunjen dalje.

Sada možemo početi da razmotre kako riješiti sistema linearnih jednačina.

gaus

Ova tema je počela da se odvija u školi. Mi vrlo dobro znamo koncept "sistema dvije linearne jednadžbe" i znaju kako ih riješiti. Ali šta ako je broj jednadžbi je veći od dva? To će nam pomoći Gauss metoda.

Naravno, ova metoda je pogodna za korištenje, ako napravite matricu sistema. Ali ne možete pretvoriti ga i odlučiti za sebe.

Dakle, kako to riješiti sistemom linearnih jednadžbi Gauss? Usput, iako je ova metoda i nosi njegovo ime, ali otkrio je u drevna vremena. Gauss je operacija izvedena uz jednadžbe, da na kraju rezultirati u ukupnosti za ešalon obliku. To je, potrebno je da od vrha do dna (ako se pravilno postaviti) od prve do posljednje jednadžbe oslabila jedan nepoznat. Drugim riječima, moramo biti sigurni da imamo, recimo, tri jednadžbe: prva - tri nepoznanice, u drugom - dva u trećem - jedan. Zatim, od zadnje jednadžbe, nalazimo prvi nepoznato, zamijeniti svoju vrijednost u drugom ili prva jednadžba, i dalje pronaći preostale dvije varijable.

Kramerovo pravilo

Za razvoj ove tehnike je od vitalnog značaja za ovladavanje vještinama toga, oduzimanje matrica, kao i potrebu da se moći pronaći determinante. Stoga, ako ste neugodno radite sve ovo, ili ne znam kako, potrebno je naučiti i biti obučeni.

Šta je suština ove metode, i kako da to učine, da bi sistem linearnih jednadžbi Cramer? To je vrlo jednostavno. Moramo izgraditi matricu brojeva (skoro uvijek) koeficijenata sistema linearnih algebarskih jednadžbi. Da biste to učinili, jednostavno uzeti broj nepoznat, a mi dogovoriti sto u cilju da se evidentiraju u sistemu. Ako ispred broja je znak "-", onda pišemo negativni koeficijent. Dakle, napravili smo prve matrice koeficijenata od nepoznanica, ne uključujući broj iza znaka jednakosti (naravno, da je jednadžba mora biti sveden na kanonske forme kada je pravo je samo broj, a lijevo - sve nepoznanice sa koeficijentima). Onda vam je potreban da bi nekoliko matrice - jedan za svaku varijablu. Za tu svrhu, u prve matrice se zamjenjuje jedan stupac svaki brojevima kolona sa koeficijentima nakon znaka jednakosti. Tako smo dobili nekoliko matrice i zatim naći svoje odrednice.

Nakon što smo pronašli kvalifikacijama, to je mala. Imamo početne matrice, a postoji i nekoliko izvedenih matrice, koje odgovaraju različitim varijablama. Da bi sistem rješenje, mi podijeliti determinanta stola rezultat na primarnom odrednica stola. Rezultirajući broj je vrijednost jedne varijable. Slično tome, nalazimo sve nepoznanice.

druge metode

Postoji nekoliko načina da bi se dobila rješenje sistema linearnih jednačina. Na primjer, tzv Gauss-Jordan metoda, koja se koristi za pronalaženje rješenja sistema kvadratne jednadžbe, a odnosi se i na upotrebu matrice. Tu je i način Jacobi za rješavanje sistema linearnih algebarskih jednadžbi. On se lako prilagođava svim računarima i koristi se u računarstva.

komplikovanih slučajeva

Složenost se obično javlja ako je manji od broja varijabli broj jednadžbi. Onda sigurno možemo reći da, ili sistem je u suprotnosti (tj nema korijenje), ili broj svojih odluka teži u beskonačnost. Ako imamo drugom slučaju - potrebu da napiše opće rješenje sistema linearnih jednadžbi. To će uključivati najmanje jedne varijable.

zaključak

Tu dolazimo do kraja. Da rezimiramo: moramo shvatiti šta matrice sistema, naučili pronaći opće rješenje sistema linearnih jednadžbi. Osim toga, mi u obzir druge opcije. Shvatili smo kako riješiti sistema linearnih jednačina: Gaussova eliminacija i Cramer vladavine. Razgovarali smo o teškim slučajevima i na druge načine pronalaženja rješenja.

U stvari, ovaj problem je mnogo šira, a ako želite da bolje razumiju to, savjetujemo vam da pročitate više stručne literature.