Razlike - šta je ovo? Kako pronaći diferencijalne funkcije?

Uz derivate njihove funkcije razlike - to neke od osnovnih pojmova u diferencijalni račun, glavni odjeljak matematičke analize. Kao što je neraskidivo povezani, obojica nekoliko stoljeća naširoko koristi u rješavanju gotovo svih problema koji su se pojavili u toku znanstvene i tehničke djelatnosti.

Pojava koncepta diferencijala

Po prvi put je jasno da takav diferencijala, jedan od osnivača (zajedno sa Isaakom Nyutonom) diferencijalni račun poznati njemački matematičar Gotfrid Vilgelm Leybnits. Prije toga matematičari 17. stoljeća. koristi vrlo nejasna i neodređena ideja nekih beskrajno "nepodijeljena" bilo koje poznate funkcije, što je vrlo mala konstantna vrijednost, ali ne i jednaka nuli, ispod koje vrijednosti funkcija ne može biti jednostavno. Stoga je to bio samo jedan korak na uvođenje pojmova beskrajno koracima funkcije argumenata i njihovih koracima od funkcija koje se može izraziti u smislu derivata ovog drugog. A ovaj korak je napravljen gotovo istovremeno gore dva velika naučnika.

na potrebu da se hitno praktičnih problema mehanike kojima se suočavaju znanost ubrzano razvija industrije i tehnologije, Newton i Leibniz stvorio uobičajenih načina pronalaženja funkcija stope promjene (posebno u odnosu na mehaničke brzine tijela poznatog putanju), što je dovelo do uvođenja takvih koncepata, kao derivat funkciju i diferencijala, i pronašao rješenja problema algoritam inverzni kao što je poznato samo po sebi (varijabla) brzinama prošli pronaći put koji je doveo do koncept integralnog Alabama

U radovima Leibniz i Newton ideja prvo se činilo da razlike - proporcionalna je povećanje od osnovnih argumenata Δh povećava Δu funkcijama koje se mogu uspješno primijeniti na izračunati vrijednost ovog drugog. Drugim riječima, oni su otkrili da je funkcija prirast može biti u bilo kojem trenutku (u svojoj domeni definicije) je izražen kroz derivat oba Δu = y '(x) Δh + αΔh gdje α Δh - ostatak, sa tendencijom na nulu kao Δh → 0, mnogo brže od stvarne Δh.

Prema osnivača matematičke analize, razlike - to je upravo prvi mandat u koracima od bilo koje funkcije. Čak i bez jasno definirane granice koncept sekvence shvatiti intuitivno da je vrijednost diferencijalne derivata ima tendenciju da funkcionira kada Δh → 0 - Δu / Δh → y '(x).

Za razliku od Newton, koji je, prije svega fizičar i matematički aparat smatra kao pomoćni alat za proučavanje fizičkih problema, Leibniz posvetiti više pažnje na ovaj alat, uključujući i sistem vizualne i razumljive simbole matematičke vrijednosti. On je bio taj koji je predložio standardni zapis razlika funkcije dy = y '(x) dx, dx, a izvod funkcije argumenta kao njihov odnos y' (x) = dy / dx.

Moderne definicija

Ono što je diferencijalni u smislu moderne matematike? To je usko povezan sa konceptom varijablu prirasta. Ako je varijabla y uzima prvi vrijednost y y = _1, onda y = y _2, razlika y ₂ ─ y ₁ se naziva povećanje vrijednosti y. Povećanje može biti pozitivan. negativne i nula. Riječ "prirast" je određen Δ, Δu snimanje (čitaj 'delta y') označava vrijednost prirasta y. tako Δu = y ₂ ─ y _1.

Ako je vrijednost Δu proizvoljna funkcija y = f (x) može biti predstavljeni kao Δu = A Δh + α, gdje je nema ovisnost o Δh, t. E. A = const za dati x, a termin α kada Δh → 0 teži to je čak i brže od stvarnog Δh, onda je prvi ( "master") termin proporcionalna Δh, a za y = f (x) diferencijala, označava dy ili df (x) (čitaj "y de", "de EFF od X"). Stoga Diferencijal - što je "glavni" linearno u odnosu na komponente koracima Δh funkcija.

mehaničko objašnjenje

Let s = f (t) - udaljenost u ravnoj liniji kreće materijalne tačke iz početnog položaja (t - vrijeme putovanja). Prirast Δs - je način trenutku tokom vremenskog intervala Dt, i diferencijalni ds = f '(t) Dt - ovaj put, koji će biti tačka održava u isto vrijeme Dt, ako je zadržao brzinu f' (t), postignut u vremenu t . Kada beskrajno Dt ds imaginarni put se razlikuje od stvarnog Δs beskonačno ima višeg reda u odnosu na Dt. Ako je brzina u trenutku t nije jednaka nuli, vrijednost ds približno daje mali pristranosti trenutku.

geometrijska interpretacija

Neka linija L je graf y = f (x). Onda Δ x = MQ, Δu = QM (vidi. Sliku ispod). Tangenta MN razbija Δu smanjiti na dva dijela, QN i NM. Prvo i Δh je proporcionalan QN = MQ ∙ tg (kut QMN) = Δh f '(x), t. E QN je dy diferencijal.

U drugom dijelu je razlika Δu NM'daet ─ dy, kada Δh dužina → 0 NM 'smanjuje čak brže nego prirast argumenta, odnosno ima reda malenosti veći od Δh. U tom slučaju, ako je f '(x) ≠ 0 (non-paralelni tangente OX) segmentima QM'i QN ekvivalent; drugim riječima NM 'brzo opada (kako malenosti svojih više) od ukupnog prirast Δu = QM'. To se vidi na slici (približava segment M'k M NM'sostavlyaet sve manji postotak QM 'segment).

Dakle, grafički diferencijal proizvoljna funkcija jednaka je povećanje od ordinate tangente.

Izvođenje i diferencijala

A faktor u prvom mandatu izražavanja povećanje funkcija je jednaka vrijednosti njegovih derivata f '(x). Dakle, sljedeći odnos - dy = f '(x) Δh ili df (x) = f' (x) Δh.

Poznato je da je prirast nezavisne argument je jednaka njegovoj diferencijal Δh = dx. U skladu s tim, možemo pisati: f '(x) dx = dy.

Pronalaženje (ponekad kaže da je "odluka") Diferencijal obavlja ista pravila kao i za derivate. Lista od njih je dat u nastavku.

Što je više univerzalan: prirast argumenta ili njegovih diferencijal

Ovdje je potrebno napraviti neke pojašnjenja. Predstavljanje vrijednosti f '(x) diferencijalne Δh moguće kada se razmatra x kao argument. Ali funkcija može biti kompleks, u kojem x može biti u funkciji argumenta t. Zatim predstavljanje diferencijalne ekspresije f '(x) Δh, po pravilu, to je nemoguće; osim u slučaju linearne ovisnosti x = u + b.

Kao formuli f '(x) dx = dy, a zatim u slučaju nezavisnog argumenta x (tada dx = Δh) u slučaju parametarske ovisnost x t, to je diferencijal.

Na primjer, izraz 2 x Δh je za y = x ² svoje diferencijal kada je x argument. Sada je x = t ² i pretpostaviti t argument. Zatim y = x ² = t ^4.

Nakon toga slijedi (t + Dt) ² = t ² + 2tΔt + Dt ^2. Stoga Δh = 2tΔt + Dt ^2. Stoga: 2xΔh = 2t ² (2tΔt + Dt ^2).

Ovaj izraz nije proporcionalan Dt, i zato je sada 2xΔh ne diferencijala. Ona se može naći iz jednadžbe y = x ² = t ^4. To je jednako dy = 4t ³ Dt.

Ako uzmemo izraz 2xdx, to je diferencijalni y = x ² za bilo koji argument t. Zaista, kada je x = t ² dobiti dx = 2tΔt.

Tako 2xdx = 2t ² 2tΔt = 4t ³ .DELTA.t, t. E. razlike izraz snimio dva različita varijable poklapaju.

Zamjena koracima razlike

Ako je f '(x) ≠ 0, onda Δu i dy ekvivalent (kada Δh → 0); ako je f '(x) = 0 (značenje i dy = 0), oni nisu ekvivalentni.

Na primjer, ako je y = x ^2, a zatim Δu = (x + Δh) ² ─ x ² = 2xΔh + Δh ² i dy = 2xΔh. Ako je x = 3, onda imamo Δu = 6Δh + Δh ² i dy = 6Δh koji su ekvivalentni zbog Δh ² → 0, kada je x = 0 vrijednost Δu = Δh ² i dy = 0 nisu ekvivalentni.

Ova činjenica, zajedno s jednostavnom strukturom diferencijal (m. E. Linearnost u odnosu na Δh), često se koristi u približan proračun, pod pretpostavkom da Δu ≈ dy za male Δh. Pronađite funkcija diferencijal obično lakše nego izračunati tačnu vrijednost prirasta.

Na primjer, imamo metalne kocke sa ruba x = 10,00 cm. Na grijanje rubu produžen na Δh = 0,001 cm. Kako povećanog obima kocke V? Imamo V = x ^2, tako da je dV = 3x ² = Δh 3 ∙ ∙ ¹⁰ Februar 0/01 = 3 (cm ^3). Povećana ΔV ekvivalent diferencijal dV, tako da ΔV = 3 cm ^3. Cijeli proračun će dati ΔV = 10,01 ─ ³ od 10 ³ = 3,003001. Ali rezultat svih cifre osim prvog nepouzdan; dakle, i dalje je potrebno da se zaokruži na 3 cm ^3.

Očigledno, ovaj pristup je korisno samo ako je moguće procijeniti vrijednost saopštiti sa greškom.

Diferencijal funkcije: primjeri

Idemo pokušati pronaći diferencijal funkcije y = x ^3, pronalaženje derivat. Neka nam dati argument prirast Δu i definirati.

Δu = (Δh + x) ³ ─ x ³ = 3x ² + Δh (Δh 3xΔh ² + ^3).

Evo, koeficijent A = 3x ² ne ovisi o Δh, tako da je prvi termin je proporcionalna Δh, a drugi član 3xΔh Δh ² + ³ kada Δh → 0 smanjuje brže nego što je povećanje od argumenta. Shodno tome, član 3x ² Δh je diferencijalni y = x ^3:

dy = 3x ² Δh = 3x ² dx ili d (x ³⁾ = 3x ² dx.

U kojoj D (x ³⁾ / dx = 3x ^2.

Dy Sada pronaći funkcija y = 1 / x sa derivat. Zatim d (1 / x) / dx = ─1 / x ^2. Stoga dy = ─ Δh / x ^2.

Diferencijal osnovnih algebarskih funkcija su date u nastavku.

Približne proračune pomoću diferencijala

Za procjenu funkcije f (x), a njegov derivat f '(x) x = a često je teško, ali da to isto u blizini x = a nije lako. Onda dolaze u pomoć približan izraz

F (+ Δh) ≈ f '(a) Δh + F (a).

To daje približnu vrijednost funkcije u malim koracima kroz diferencijal Δh f '(a) Δh.

Stoga, ova formula daje približan izraz za funkciju na kraju trenutku dijela dužine Δh kao zbir njegovih vrijednosti na polazište dio (x = a) i diferencijala u isto ishodište. Preciznost metode za određivanje vrijednosti funkcije ispod pokazuje crtež.

Međutim, poznat i tačan izraz za vrijednost funkcije x = a + Δh dao formulu konačnih koracima (ili, alternativno, Lagrangeov formula)

F (+ Δh) ≈ f (ξ) Δh + F (a),

gdje je u intervalu od x = a x = a + Δh tačke x = a + ξ, iako je njegova tačnu poziciju je nepoznat. Tačan formula omogućava da se proceni greške približne formule. Ako stavimo u Lagrange formuli ξ = Δh / 2, iako prestaje da bude precizan, ali daje, po pravilu, mnogo bolji pristup nego originalni izraz u smislu diferencijal.

formule evaluacija greška primjenom diferencijalne

Mjerni instrumenti , u principu, netačne, i dovesti do mjernih podataka odgovarajući na grešku. Odlikuje ih ograničavaju apsolutne pogreške, ili, ukratko, granica greška - pozitivan, jasno prelazi greška u apsolutnoj vrijednosti (ili najviše jednaka je). Ograničavanje relativna greška se zove koeficijent dobijen dijeljenjem ga apsolutne vrijednosti izmjerene vrijednosti.

Neka točne formula y = f (x) funkcija se koristi za vychislyaeniya y, ali je vrijednost x je rezultat mjerenja, a samim tim i donosi y greška. Zatim, da biste pronašli ograničavajući apsolutna greška │Δu│funktsii y, koristeći formulu

│Δu│≈│dy│ = │ f '(x) ││Δh│,

gdje │Δh│yavlyaetsya marginalna greška argument. │Δu│ količina mora biti zaokruženo prema gore, kao sama po sebi netačno proračun zamjene prirast o obračunu diferencijal.