Geometrijska progresija. Primer rešenja

Razmislite o seriji.

7 28 112 448 1792 ...

Sasvim je jasno da je vrednost bilo kog od njegovih elemenata četiri puta veća od prethodne. Dakle, ova serija je progresija.

Geometrijska progresija Nazvana je beskonačna sekvenca brojeva, čija je glavna karakteristika da se sledeći broj dobija iz prethodnog množeći se za određeni broj. Ovo se izražava sledećom formulom.

A _{z +1} = a _z · q, gde je z broj izabranog elementa.

Odgovarajući, z ∈ N.

Period u kojem se proučava geometrijska progresija u školi je stepen 9. Primeri će vam pomoći da razumete koncept:

0.25 0.125 0.0625 ...

18 6 2 ...

Polazeći od ove formule, imenitelj progresije može se naći na sledeći način:

Ni q ni b _z ne mogu biti jednaki nuli. Takođe, svaki od elemenata numeričke sekvence napredovanja ne bi trebao biti nula.

Shodno tome, da bi pronašli sledeći broj serije, moramo da pomnožimo poslednji q.

Da biste odredili napredak, morate navesti svoj prvi element i imenitelj. Nakon toga, moguće je pronaći bilo koji od sledećih članova i njihovu suma.

Sorte

Zavisno od q i a _, ovaj napredak je podijeljen na nekoliko tipova:

• Ako su i ₁ i q veći od jednog, onda je takva sekvenca geometrijska progresija koja se povećava sa svakim sledećim elementom. Primer ovoga je predstavljen u nastavku.

Primjer: a ₁ = 3, q = 2 - oba parametra su veća od jedne.

Tada numerička sekvenca može biti napisana kao:

3 4 5 6 7 8 9 ...

• Ako je | q | Manje od jednog, to jest, množenje pomoću njega je ekvivalentno podelama, onda je progresija s sličnim uslovima smanjena geometrijska progresija. Primer ovoga je predstavljen u nastavku.

Primer: a ₁ = 6, q = 1/3 - ₁ više od jednog, q - manje.

Tada numerički niz može biti napisan tako:

6 2 2/3 ... - svaki element je veći od elementa koji sledi, 3 puta.

• Promjenjuje se. Ako je q <0, znaci redosleda redosleda stalno se mijenjaju bez obzira na ₁ , a elementi se ne povećavaju niti smanjuju.

Primjer: a ₁ = -3, q = -2 - oba parametra su manja od nule.

Tada numerička sekvenca može biti napisana kao:

-3, 6, -12, 24, ...

Formule

Za praktičnu upotrebu geometrijskih progresija postoje mnoge formule:

• Formula z-tog pojma. Omogućava vam da izračunate element koji je pod određenim brojem bez izračunavanja prethodnih brojeva.

Primer: q = 3, a ₁ = 4. Potrebno je izračunati četvrti element progresije.

Rešenje je: a ₄ = 4 · 3 ^4-1 = 4 · 3 ³ = 4 · 27 = 108.

• Suma prvih elemenata, čiji je broj Z. Omogućava izračunavanje sume svih elemenata sekvence do _z inclusive.

Pošto (1- q ) stoji u imeniku, onda (1-q) ≠ 0, dakle, q nije jednako 1.

Napomena: ako je q = 1, progresija bi bila serija beskonačno ponavljajućih brojeva.

Suma geometrijske progresije, primeri: a ₁ = 2, q = -2. Izračunajte S ₅ .

Rešenje: S ₅ = 22 - izračunavanje po formuli.

• Suma, ako | Q | <1 i ako se zuje do beskonačnosti.

Primer: a = 2 _, q = 0,5. Pronađi suma.

Rešenje: S _z = 2 · = 4

Ako brojčano izračunate sume nekoliko članova, možete videti da zaista stremi za četiri.

S _z = 2 + 1 + 0,5 + 0,25 + 0,125 + 0,0625 = 3,9375 4

Neke osobine:

• Karakteristična svojina. Ako je sljedeće stanje Da li je zadovoljen za bilo koji z , onda je navedena numerička serija geometrijska progresija:

A _z ² = A _{z -1} · A _{z + 1}

• Slično tome, kvadrat bilo kog broja geometrijske progresije se nalazi dodavanjem kvadrata dva druga bilo kog broja u datoj seriji ako su jednako od ovog elementa.

I _z ² = a _{z - t} ² + a _{z + t} ² , gde je t rastojanje između ovih brojeva.

• Elementi se razlikuju faktorom q .
• Logaritami elemenata progresije takođe formiraju progresiju, ali već aritmetički, to jest, svaki od njih je veći od prethodnog po određenom broju.

Primjeri nekih klasičnih problema

Da biste bolje razumeli šta je geometrijska progresija, mogu vam pomoći primjeri sa rješenjem za klasu 9.

• Uslovi: a ₁ = 3, a ₃ = 48. Nađite q .

Rešenje: svaki sledeći element je veći od prethodnog u q Vremena. Neophodno je izraziti neke elemente kroz druge koristeći imenitelj.

Prema tome, ₃ = q ² · a ₁

Sa zamenom q = 4

• Uslovi: a ₂ = 6, a ₃ = 12. Izračunajte S ₆ .

Rešenje: Za ovo je dovoljno pronaći q, prvi element i zameniti u formuli.

A ₃ = q · a ₂ , dakle, q = 2

A ₂ = q · A ₁ , stoga A ₁ = 3

S ₆ = 189

• · A ₁ = 10, q = -2. Nađite četvrti element progresije.

Rešenje: za to dovoljno je da izrazi četvrti element kroz prvi i kroz imenitelj.

A ₄ = q ³ · a ₁ = -80

Primjer aplikacije:

• Klijent banke napravio je doprinos u iznosu od 10.000 rubalja, pod uslovom da se svake godine klijentu na glavnicu dodaju 6%. Koliko novca će biti na računu za 4 godine?

Odluka: Početni iznos iznosi 10 hiljada rubalja. Dakle, godinu dana nakon ulaganja na račun će biti iznos jednak 10000 + 10000 · 0.06 = 10000 · 1.06

Shodno tome, iznos na računu u narednoj godini biće izražen na sledeći način:

(10000 · 1.06) · 0.06 + 10.000 · 1.06 = 1.06 · 1.06 · 10.000

To jest, svake godine iznos se povećava za 1,06 puta. Dakle, za pronalaženje iznosa sredstava na računu za 4 godine, dovoljno je pronaći četvrti element progresije, koji je postavljen prvim elementom jednakom 10 hiljada, a imenitelj jednak 1.06.

S = 1,06 · 1,06 · 1,06 · 1,06 · 10000 = 12625

Primjeri zadataka za izračunavanje sume:

U raznim problemima koristi se geometrijska progresija. Primjer pronalaska sume može se navesti na sljedeći način:

A ₁ = 4, q = 2, izračunajte S ₅ .

Rešenje: svi podaci neophodni za izračunavanje su poznati, samo ih treba zamijeniti u formuli.

S ₅ = 124

• A ₂ = 6, a ₃ = 18. Izračunajte zbir prvih šest elemenata.

Rešenje:

U geom. Progresija, svaki sledeći element je veći od prethodnog za q puta, tj. Za izračunavanje suma potrebno je znati element a ₁ i imenitelj q .

A ₂ · Q = a ₃

Q = 3

Slično tome, potrebno je pronaći ₁ , znajući ₂ i q .

A ₁ · Q = a ₂

A ₁ = 2

I dalje je dovoljno zamijeniti poznate podatke u formuli sume.

S ₆ = 728.