Četvorougao sa pravim uglovima je ... Suma uglova četvorougla

Jedna od najinteresantnijih tema o geometriji sa školskog kursa je "Quadrangles" (8. razred). Koje vrste takvih figura postoje, koje posebne osobine imaju? Koja je jedinstvenost četvorougla sa uglovima od devedeset stepeni? Pogledajmo sve ovo.

Koja geometrijska figura se naziva četverokut

Poligoni, koji se sastoje od četiri strane i, respektivno, od četiri vertikala (uglovi), nazivaju se četvorougaoni u Euklidovoj geometriji.

Zanimljiva je istorija imena ove vrste figura. Na ruskom imeniku "četvorougla" formira se iz fraze "četiri ugla" (na isti način kao i "trougao" - tri ugla, "pentagon" - pet uglova itd.).

Međutim, na latinici (preko čijeg posredovanja mnogi geometrijski termini dolaze na većini svjetskih jezika) naziva se četvorougaoni. Ova riječ je formirana od numeričke kvadri (četiri) i imenice latus (bočna). Dakle, možemo zaključiti da je u drevnosti ovaj poligon nazvan samo "četverostruk".

Inače, ovo ime (sa naglaskom na prisustvo četiri strane, a ne uglova) na ovoj slici je sačuvano na nekim modernim jezicima. Na primjer, na engleskom - četverostrukom i francuskom - quadrilatère.

Istovremeno, na većini slovanskih jezika vrsta figura koja se razmatra još uvek je identifikovana brojem uglova, a ne strane. Na primer, na slovačkom (štvoruholník), na bugarskom jeziku ("chetryriaglnik"), na beloruskom ("chatyrokhutnik"), na ukrajinskom ("chotirikutnik"), na češkom (čtyřúhelník), ali na poljskom je četvorougao nazvan po broju stranaka - czworoboczny.

Koje vrste četvorougla se proučavaju u školskom programu

U savremenoj geometriji razlikuju se četiri tipa poligona sa četiri strane. Međutim, zbog previše komplikovanih osobina nekih od njih, samo dvije vrste su upoznate sa učenicima u geometrijskim časovima.

• Paralelogram (paralelogram). Suprotne strane četvorougla su paralelno paralelne jedni prema drugima, pa su i parče.
• Trapezijum (trapezijum ili trapez). Ovaj četvorougao se sastoji od dve suprotne strane, paralelno jedni sa drugima. Međutim, drugi par stranaka nema takvu osobinu.

Tipovi četvorougaona koji nisu proučavani u školskom kursu geometrije

Pored gore navedenog, postoje i još dva tipa četvorougaona koje učenici ne upoznaju na časovima geometrije, zbog njihove posebne složenosti.

• Deltoid (kite) je figura u kojoj je svaki od dva para susjednih strana jednak u dužini jedan prema drugom. Ime ovog četvorougla je zbog činjenice da je po izgledu prilično sličan slovu grčke abecede - "delta".
• Antiparallelogram - ova cifra je jednako složena kao i njeno ime. U njoj su dve suprotne strane jednake, ali one nisu paralelne jedna drugoj. Pored toga, dugačke suprotne strane ovog kvadrilata se presecaju, kao i nastavak drugih dve kraće strane.

Vrste paralelograma

Pošto se bavimo glavnim tipovima četvorožlica, vredi obratiti pažnju na svoje podvrste. Dakle, svi paralelogrami, pak, takođe su podeljeni u četiri grupe.

• Klasični paralelogram.
• Rhombus (romb) je četverostruka figura sa jednakim stranama. Njegove dijagonale se ukrštaju pod pravim uglom, dijamant dijele u četiri jednake pravougaone trouglove.
• Pravougaonik. Ime govori za sebe. Budući da je četvorougao sa pravim uglovima (svaki od njih je jednak devedeset stepeni). Nasuprot tome, ne samo da su paralelne, već i jednake.
• Kvadrat (kvadrat). Kao pravougaonik, to je četvorougao sa pravim uglovima, ali sve strane su jednake jedna drugoj. Ova cifra je blizu romba. Dakle, može se tvrditi da je kvadrat krst između dijamanta i pravougaonika.

Posebne osobine pravougaonika

S obzirom na cifre u kojima je svaki ugao između strana jednak devedeset stepeni, vredi pažljivije pogledati na pravougaonik. Dakle, koje posebne osobine ima onaj koji ga razlikuje od drugih paralelograma?

Da se tvrdi da je predmetni paralelogram pravougaonik, njene dijagonale moraju biti jednake jedni drugima, a svaki ugao je ravan. Pored toga, kvadrat njegovih dijagonala mora odgovarati zbiru kvadrata dvije susedne strane ove figure. Drugim rečima, klasični pravougaonik se sastoji od dva pravougaone trougla, au njima je, kako je poznato, zbir kvadrata nogu jednak kvadratu hipotenuze. U ulozi hipotenuza, pojavljuje se dijagonala kvadrilata u pitanju.

Posljednja od navedenih karakteristika ove figure je i njegova posebna svojina. Pored toga, postoje i drugi. Na primjer, činjenica da su sve strane kvadrilata sa ravnim uglovima istovremeno i visine.

Pored toga, ako nacrtate krug oko bilo kog pravougaonika, njegov prečnik će biti jednak dijagonalu upisanog slova.

Između ostalih osobina ovog četverostruktora, činjenica da je ravna iu neevklidskoj geometriji ne postoji. To je zbog činjenice da u ovom sistemu nema četverokutnih figura čija je zbir uglova tri stotine i šezdeset stepeni.

Kvadrat i njegove karakteristike

Pošto se bavio karakteristikama i svojstvima pravougaonika, vredi obratiti pažnju drugom poznatom četvorouglu sa ravnim uglovima (ovo je kvadrat).

U stvari, isti pravougaonik, ali sa jednakim stranama, ova cifra ima sva svoja svojstva. Ali za razliku od njega, kvadrat je prisutan u neevklidskoj geometriji.

Osim toga, ova figura, postoje i druge sopstvene karakteristične osobine. Na primjer, činjenica da dijagonali kvadrata nisu jednostavno jednaki jedni drugima, već se i presecaju pod pravim uglom. Dakle, kao dijamant, kvadrat se sastoji od četiri pravougaone trougla, u koje je podeljen dijagonalom.

Pored toga, ova cifra je najsimetričnija među svim četverokutama.

Koja je zbir uglova četvorougla

Uzimajući u obzir singularnosti četvoroveka evklidske geometrije, vredi obratiti pažnju na njihove uglove.

Dakle, u svakom od gorenavedenih figura, bez obzira da li ima pravih uglova ili ne, njihova ukupna suma je uvek ista - tri stotine i šezdeset stepeni. Ovo je jedinstvena karakteristika ove vrste figure.

Perimetar kvadrilata

Pošto se bavio sa onim što je zbir uglova četvorougaoka i drugih posebnih osobina figura ove vrste, vredi je saznati koje formule se najbolje koriste za izračunavanje njihovog perimetra i površine.

Da biste utvrdili perimetar svakog četvorougaona, potrebno je samo dodati dužinu svih strana.

Na primjer, na slici KLMN njegov perimetar se može izračunati po formuli: P = KL + LM + MN + KN. Ako zamenimo brojeve ovde, dobijamo: 6 + 8 + 6 + 8 = 28 (cm).

U slučaju da je predmetna figura romb ili kvadrat, da biste pronašli perimetar, možete pojednostaviti formulu tako što ćete jednostavno pomnožiti dužinu jedne od svojih strana sa četiri: P = KL x 4. Na primjer: 6 x 4 = 24 (cm).

Kvadratne formule četvorougla

Pošto smo se bavili kako pronaći perimetar bilo koje ličnosti sa četiri ugla i bočnih strana, vredno je razmotriti najpopularnije i jednostavnije načine pronalaska svoje oblasti.

• Klasični način izračunavanja jeste korištenje formule S = 1/2 KM x LN x SIN LON. Ispostavlja se da je površina bilo kog četvorougla jednaka polovini proizvoda njegovih dijagonala sine ugao između njih.
• Ako je broj čije područje želite da pronađete je pravougaonik ili kvadrat (dijagonale su uvijek jednake jedna drugoj), možete pojednostaviti formulu tako što ćete squaring dužinu jedne dijagonale i množiti ga sinusom između uglova i podijeliti sve na pola. Na primjer: S = 1/2 KM ² x SIN LON.
• Takođe, prilikom pronalaženja područja pravougaonika, informacije o obimu brojake i dužini jedne od njegovih strana mogu pomoći. U ovom slučaju, najpogodnije je koristiti formulu S = KN x (P - 2 KN) / 2.
• U slučaju kvadrata, njegova svojstva omogućavaju nam da koristimo nekoliko dodatnih formula za pronalaženje područja. Na primjer, poznavanjem perimetra slike, možete koristiti ovu opciju: S = P ² / 16. I ako je poznat radijus kruga upisanog u četvorougao, kvadrat kvadrata je na sličan način: S = 4r ² . Ako je poznat radijus okruženog kruga, onda je pogodna i druga formula: S = 2R ² . Takođe, površina kvadrata je 0,8 puta veća od dužine linije izvučene sa ugla slike do sredine suprotne strane.
• Pored svega navedenog, postoji i posebna formula za pronalaženje područja, računato specifično za paralelogram. Može se koristiti, ukoliko je poznato, dužine dvije visine slike i veličine ugla između njih. Potom se visine moraju umnožiti između sebe i sine ugao između njih. Vredi napomenuti da možete koristiti ovu formulu za sve podatke koji se odnose na paralograme (to jest, na pravougaonik, romb i kvadrat).

Ostala svojstva četvorougla su upisana i ograničena kruga

Razmatrajući karakteristike i osobine četvorougla kao figure euklidske geometrije, vrijedno je obratiti pažnju na mogućnost opisivanja ili upisivanja krugova unutar nje:

• Ako su sumi suprotnih uglova slike cak sto osamdeset stepeni i paralelno jednaki, onda oko ovog kvadrilata slobodno se opisuje krug.
• Prema Ptolemijevom teoremu, ako je krug opisan izvan poligona sa četiri strane, onda je proizvod njegovih dijagonala jednak sumi proizvoda suprotnih strana datih slika. Dakle, formula će izgledati ovako: KM x LN = KL x MN + LM x KN.
• Ako konstruišemo četvorougao, u kojem su sumi suprotnih strana jednaki jedni drugima, onda se u njega može upisati krug.

Razmatrajući šta je četvorougao, kakve je to vrste, koji od njih imaju samo direktne uglove između strana i koja svojstva poseduju, vredi pamtiti sve taj materijal. Konkretno, formule za pronalaženje perimetra i područja ispitanih poligona. Na kraju krajeva, brojki ovog oblika - jedan od najčešćih, a ovo znanje može biti korisno za izračunavanje u stvarnom životu.